你在一个 d=1000 的逻辑回归/两层 MLP 上比较优化器，样本 n=10000。如果用 full-batch 牛顿法，需要计算 Hessian 并求解 H^{-1}g。请问：牛顿法相比 SGD 在什么条件下收敛更快？为什么在深度学习中很少直接用？如果不用完整 Hessian，有哪些近似二阶/拟牛顿思路？请至少说出一种并说明它省了什么计算。
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判断是否理解二阶方法利用曲率、计算/存储成本，以及在非凸、随机、高维深度学习中的限制。
回答框架 · 前两步
- 牛顿法用二阶曲率信息，在强凸、Hessian 良态、full-batch、靠近最优点的条件下，迭代次数通常远少于梯度下降/ SGD，体现二次收敛。
- 完整 Hessian 需要 O(d^2) 存储，求解 H^{-1}g 或线性系统通常 O(d^3)；d=1000 已需要约 10^6 个元素，深度网络 d 上亿时完全不可行。
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