DDPM 的前向加噪可以写成 x_t = √ᾱ_t·x_0 + √(1−ᾱ_t)·ε，ε~N(0,I)，而单步形式是 x_t = √(1−β_t)·x_{t−1} + √β_t·ε_t。请说明这个“一步得到任意 t 的 x_t”的闭式解是怎么来的（说清关键性质即可，不必写完整归纳证明），以及它为什么让训练可以对 t 一次随机采样，而不必从 t=1 逐步跑到 t。

面试官在考什么

是否理解 DDPM 前向过程是高斯线性叠加、因此有闭式解，并由此理解训练可以做成随机采 t 的单步监督。

Diffusion

回答框架 · 前两步

1. 每一步都是对上一时刻做线性变换再叠加独立高斯噪声，高斯分布的线性组合仍是高斯，因此多步可以合并成一步。
2. 均值和方差可以逐层累积：x_t 的均值是 √ᾱ_t·x_0，方差是 1−ᾱ_t，其中 ᾱ_t = ∏_{i=1}^{t}(1−β_i)；独立噪声的方差可以直接相加。

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