5 个工人、5 项任务的一对一指派问题，用 0-1 变量 x_ij 建模，目标是最小化总工时。你发现直接解 LP 松弛（把 x_ij ∈ {0,1} 放松成 0 ≤ x_ij ≤ 1）得到的解自动就是整数，根本不需要分支定界。现在客户加了一条约束：“任务 A 和任务 B 不能由同一个人做”，写成 x_Aj + x_Bj ≤ 1（对每个工人 j）。请说明：(1) 为什么原模型的 LP 松弛天然给整数解；(2) 加了这条约束之后还能不能保证，如果不能，你会怎么处理这个模型。

面试官在考什么

判断候选人是否理解 LP 松弛紧性的来源（全幺模／网络流结构），以及能否识别一条看起来无害的附加约束会破坏这个结构、把多项式可解问题变成 NP-hard。

线性/整数规划

回答框架 · 前两步

1. 原指派问题的约束矩阵是全幺模的（等价于二分图匹配／网络流），LP 松弛的极点恰好落在整数点上，所以直接解 LP 就得到整数解，与问题规模无关。
2. “任务 A 和 B 不能同人做”是额外的一行不等式，不满足网络流的节点守恒形式，会破坏全幺模性，LP 松弛可能出现 0.5 这类分数解，问题退化成带冲突约束的指派问题（NP-hard）。

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