某车间只有一台设备，每天可用 6 机时、9 kg 原料。生产一件 A 用 1 机时、3 kg 原料，利润 5 元；生产一件 B 用 2 机时、1 kg 原料，利润 4 元。A、B 的产量必须是非负整数。请回答：(1) 写出这个整数规划模型；(2) 求出 LP 松弛的最优解和整数最优解，两者目标值差多少；(3) 有人说“先解 LP，再把结果四舍五入取整就行”，你同意吗？说明理由（本小题的数值是否恰好可行不影响你的结论）。
面试官在考什么
判断候选人能否把一段业务描述准确翻译成整数规划模型，以及是否理解 LP 松弛值只是整数最优值的上界、取整既不保证可行也不保证最优。
回答框架 · 前两步
- 设 x、y 分别为 A、B 的产量，取非负整数；目标 max 5x+4y；约束为 x+2y≤6（机时）、3x+y≤9（原料）。
- LP 松弛最优解为 (2.4, 1.8)，目标值 19.2；整数最优解为 (2, 2)，目标值 18，两者差 1.2。
还有 3 条答案要点、 3 层追问、 5 个常见坑， 以及针对你简历的追问路径，在定制报告里。
同一能力域的其他题
- 你简历里用到了线性规划做工艺参数优化。请说明：当约束中出现「某两个参数不能同时取高值」这类互斥条件时，你是如何把它写进模型的？如果求解器返回 infeasible，你怎么定位是哪条约束导致的？
- 5 个工人、5 项任务的一对一指派问题，用 0-1 变量 x_ij 建模，目标是最小化总工时。你发现直接解 LP 松弛（把 x_ij ∈ {0,1} 放松成 0 ≤ x_ij ≤ 1）得到的解自动就是整数，根本不需要分支定界。现在客户加了一条约束：“任务 A 和任务 B 不能由同一个人做”，写成 x_Aj + x_Bj ≤ 1（对每个工人 j）。请说明：(1) 为什么原模型的 LP 松弛天然给整数解；(2) 加了这条约束之后还能不能保证，如果不能，你会怎么处理这个模型。
- 你需要为一个运输问题建模：10个供应点，20个需求点，最小化运输成本。原本的运输问题约束矩阵是全幺模的，LP松弛直接得到整数解。现在业务要求：每条运输路线如果使用，需要支付一次性固定费用（例如1000元），且每条路线有容量上限。请问：这个问题属于什么类型？LP松弛会得到什么性质解？如果LP松弛得到分数解，你如何判断是否需要精确求解整数解，还是可以用LP解四舍五入？
- 一个跨工厂的产能分配问题被建成线性规划：约 800 个变量、300 条约束，求解在秒级完成。但输出里出现“0.4 号产线”“1.7 个班组”这类不可执行结果。业务要求每周排一次、凌晨批处理窗口 30 分钟，且允许目标值比理论最优差 1%。你作为技术负责人，怎么判断哪些变量必须整数化、哪些可以保持连续？如果整数化后求解时间涨到小时级，你的降级路径和与业务的精度口径怎么定？请给出可落地的决策规则。
- 单机多周期生产计划模型里有一条约束 p_t ≤ M · y_t：p_t 是第 t 天的产量（连续变量），y_t 是设备当天是否开机的 0-1 变量，设备真实日产能上限是 120 件。同事把 M 直接写成 100000，理由是“写大一点免得约束误伤”。请回答：(1) 这样写会带来什么后果，为什么；(2) 你会怎么确定这个 M，并说明 M 必须满足什么条件，模型才和原意等价。
- 你正在为选址问题建模：50个候选仓库，200个客户。决策变量：y_j 表示是否开设仓库j（0-1），x_ij 表示客户i是否由仓库j服务（0-1）。约束：x_ij <= M * y_j，其中M设为所有客户需求总和（10000）。模型有10000个二进制变量和10000个连续变量。求解器跑了1小时仍无可行解。请分析可能的原因，并给出至少两种改进方案。